Proposez à vos élèves un nouveau jeu de pure réflexion qui se joue à deux et à découvert. Incitez-les à rencontrer un maximum d'adversaires. Dans ces conditions, il y a fort à parier que leur façon de jouer va se modifier. Si initialement toutes les actions permises par les règles du jeu leur paraissent équivalentes, avec l'expérience certains choix leur sembleront plus judicieux que d'autres. Ils découvriront que certains coups leur assurent la victoire alors que d'autres les condamnent irrémédiablement à la défaite. Comment pourrait-on schématiquement décrire l'évolution de leurs connaissances du jeu et rendre compte de l'amélioration de leurs stratégies ? Nous allons dans cet article tenter de répondre à cette question.

Toutes proportions gardées, cette interrogation est analogue à celle qui fut à l'origine de toute l'oeuvre de Piaget et l'on sait quelle solution il proposa. A l'instar de l'auteur de Biologie et Connaissance nous recourrons à la notion fondamentale d'adaptation qu'il faut interpréter comme " […] le produit de réponses actives, autrement dit de régulations compensatrices opérant par recombinaisons constructives et par ajustement de réponses efficaces données aux problèmes soulevés par le milieu." (Piaget, 1967, p. 68).

A cette fin nous représenterons les diverses stratégies des élèves par des chromosomes qui, ensemble, constitueront une population susceptible d'évoluer. Les transformations que subira la population de génération en génération, seront une imitation des mécanismes génétiques naturels dont les principaux sont la reproduction, le croisement et la mutation.

La reproduction est l'opérateur le plus important, c'est par son entremise que s'effectue la sélection. Les individus les plus aptes, ceux dont les performances sont les meilleures, ceux qui, en l'occurrence, gagnent le plus souvent, auront plus de chance de se reproduire; les moins bons disparaîtront. Mais cet opérateur, bien que primordial, ne peut pas créer de nouveaux individus. Afin de générer au sein de la population une certaine variété il est nécessaire de recourir au croisement. Un croisement s'effectue en deux temps. Des couples de chromosomes sont formés aléatoirement puis s'échangent au hasard des fragments d'information (voir fig1).

fig. 1. Le croisement

Suite au jeu de la reproduction et du croisement, il arrive parfois que certaines informations potentiellement utiles disparaissent du pool génétique de la population; ces dernières peuvent être éventuellement réintroduites grâce à une mutation. Ce troisième opérateur, qui ne se déclenche que très rarement, modifie aléatoirement l'un ou l'autre des gènes d'un chromosome.

Nous usons ainsi d'une métaphore biologique en comparant l'évolution de la compréhension qu'ont les élèves d'un jeu à l'évolution des espèces. Nous nous référons donc directement au néo-darwinisme (1). Cette théorie synthétique de l'évolution est une intégration du darwinisme de Darwin à la théorie génétique moderne, telle qu'elle résulte des lois de Mendel. C'est ce qui constitue le champ d'investigation de la "génétique des populations", créée à peu près simultanément par Wright et Fisher, qui fournirent un certain nombre de modèles mathématiques rendant compte de l'évolution en utilisant d'une part les lois de Mendel, et d'autre par des coefficients de sélection. Cette approche consiste à reconnaître que les caractères sont déterminés par des gènes et que ces gènes peuvent subir des mutations. Ainsi apparaissent un certain nombre de différences entre individus d'une même espèce. A travers le polymorphisme ainsi créé, la sélection naturelle opère en éliminant ou au contraire privilégiant tel individu porteur de tel gène. Cela suppose donc que la mutation précède la sélection, mais n'implique aucun lien entre l'agent mutagène et les conditions de la sélection. L'intervention de la sélection naturelle dans les processus évolutifs se fait donc, répétons-le en deux temps: diversification génétique (par mutations, recombinaisons ou autres événements aléatoires), puis mise en ordre de la variabilité par la sélection proprement dite. Dans le premier temps, le hasard joue le rôle principal: les variations qui apparaissent ne sont pas systématiquement adaptatives et leur apparition elle-même est indépendante des conditions du milieu. Au cours de la deuxième étape s'opère la sélection proprement dite, agent organisateur extrinsèque. Dans une population de milliers ou de millions d'individus tous différents, certains génotypes sont particulièrement avantageux dans les conditions écologiques du moment: statistiquement, ils ont plus de chance que les autres de survivre et d'engendrer une descendance. C'est dans ce deuxième temps que l'évolution trouve son orientation: les fréquences des gènes, ou des combinaisons de gènes les plus favorables, à un instant donné et en un lieu donné, augmentent, l'adaptation de la population au milieu dans lequel elle vit se perfectionne; ainsi apparaissent des spécialisations; ainsi se développent des radiations adaptatives; ainsi se réalise ce qu'on a l'habitude d'appeler le progrès évolutif.

L'idée de créer de tels systèmes artificiels fondés sur les mécanismes de la sélection naturelle et de la génétique est due à Holland. C'est dans son livre originel intitulé Adaptation in natural and artificial systems, publié en 1975, qu'il posa le cadre général de l'étude de ce que l'on nomme actuellement les algorithmes génétiques (2).

Afin d'être plus explicite, appliquons ce modèle à l'étude du jeu des triplets (Gardner, 1986, p. 105). Ce jeu se joue sur une bande formée de n cases avec des pions d'un seul type. Les joueurs A et B déposent chacun à leur tour un pion sur une case jusqu'à ce que l'un des joueurs gagne en alignant trois pions adjacents. La figure 2 montre une partie gagnée par B sur un terrain formé de 6 cases.

fig. 2. Exemple d'une partie gagnée par B sur un terrain formé de 6 cases.

Comment définir les stratégies puis conséquemment les chromosomes ? Pour définir une stratégie, il suffit simplement de préciser pour chaque situation que peut rencontrer un joueur l'action qu'il exécuterait. Comment transformer cette information en un semblant de chromosome ? Rappelons qu'un chromosome est une très longue molécule d'acide déoxyribonucléique (ADN) qui renferme toute l'information génétique de la cellule et que cette information est codée linéairement à l'aide de quatre types de bases nucléotidiques: l'adénine (A), la cytosine (C), la guanine (G) et la thymine (T). Formellement, un chromosome n'est donc rien d'autre qu'une chaîne de caractères, un très long mot, composé à l'aide d'un alphabet restreint de quatre lettres. Pour donner à une stratégie une forme analogue, il faut commencer par définir un alphabet. Dans notre exemple, celui-ci sera constitué par les nombres 1 à n qui correspondent au coup permis. Puis il suffit de concaténer autant de caractères que de configurations possibles du jeu. Dans une cellule le code génétique s'exprime en deux étapes: dans un premier temps, la séquence des bases nucléotidiques d'un brin de la double hélice d'ADN est transcrite en un brin complémentaire d'acide ribonucléique (ARN) messager; dans un second temps, l'ARN messager est traduit en protéine. Pour extraire l'information d'un "chromosome-stratégie", il faut recourir à une table de conversion qui assigne à chaque position du chromosome une configuration possible du jeu. Chaque caractère définit le coup à exécuter dans la situation définie par la position du caractère. Considérons à titre d'exemple le cas n = 6. Le joueur A, qui commence, peut rencontrer 22 situations différentes. Représentons-en quelques-unes (voir fig. 3).

fig. 4. Quelques configurations que pourrait rencontrer le joueur B lorsque n = 6.

Supposons que les stratégies des joueurs A et B soient définies par les deux chromosomes suivants (voir fig. 5):

fig. 5. Exemples de génotypes.

Ces deux chromosomes représentent le génotype des joueurs A et B. S'ils s'affrontent voici leurs échanges (voir fig. 6):

fig. 6. Une expression des génotypes définis dans la figure 5.

Cette partie est l'expression de l'information portée par leur génotype, elle représente ce que nous pourrions nommer les phénotypes des joueurs A et B.

Constituons maintenant deux échantillons aléatoires: le premier extrait des stratégies de A, le second de celles de B. Puis examinons comment évoluent ces deux populations, le passage d'une génération à la suivante s'effectuant par l'exécution d'un cycle complet composé des trois opérateurs génétiques préalablement définis. Nous suivrons les changements apparaissant dans les deux populations en évaluant régulièrement leur diversité respective. Cette diversité globale se détermine en moyennant les diversités locales. En une position donnée x la diversité d(x) s'évalue par une entropie relative (3):

avec

• m: le nombre d'actions différentes qu'il est possible de choisir lorsqu'on se trouve dans la situation x;
• fi: la proportion des individus de la population optant dans la situation x pour l'action i.

La diversité locale, d(x), prend une valeur comprise entre 0 et 1. Si d(x) = 0, alors la diversité est nulle, tous les individus de la population choisissent dans la situation x la même action. Si d(x) = 1, alors la diversité est maximale, toutes les actions semblent équivalentes, aucune n'est préférée; dans ce cas, pour tout i: fi = 1/m (4). L'évaluation de la diversité nous fournira quelques indices de l'évolution des stratégies. En effet, si la diversité au sein d'une population diminue, cela signifie que certains individus ont réussi à s'imposer. Ils savent donc sûrement mettre en oeuvre de judicieux stratagèmes et toujours opter dans les situations délicates pour le bon coup. La diminution de la diversité au sein d'un population signale donc que la connaissance qu'ont les individus de leur environnement a augmenté.

A titre d'illustration (5), voyons, lorsque n = 6, comment évolue la diversité des populations A et B, formées chacune de 200 individus (voir fig. 7).

fig. 7. Évolution de la diversité au sein des populations A et B, n = 6.

Au début la diversité est maximale dans les deux populations, aucune force sélective ne s'est encore exercée sur elles. Mais au cours du temps les deux populations se différencient très nettement. La diversité de la population A commence par diminuer légèrement, puis après quelques générations se met à croître pour finalement atteindre la diversité maximale. La diversité de la population B, quant à elle, décroît de manière quasi-monotone pour converger vers une valeur d'équilibre. En définitive seule la population B change, se spécifie.

Sur le plan du jeu comment interpréter ces résultats ? Remarquons que le jeu des triplets est un jeu à deux participants, du type duel, dont les caractéristiques sont les suivantes: (1) c'est un jeu "à découvert", c'est-à-dire que chaque joueur connaît tous les éléments du jeu à tout instant; (2) les deux joueurs jouent chacun à leur tour; (3) aucun élément de hasard n'intervient au cours du jeu; (4) le jeu se termine après un nombre fini de coups par la victoire de l'un des deux joueurs (aucune partie nulle n'est possible) (6). Dans ces conditions, en vertu du théorème fondamental sur les jeux de combinaisons (7), nous savons qu'il existe une stratégie gagnante pour l'un des joueurs. Au jeu des triplets, lorsque n = 6, c'est le joueur B qui possède cette stratégie. Ceci nous permet de comprendre l'évolution des populations A et B. La population A peut, lorsque les individus de B sont encore néophytes, exploiter leurs erreurs et maladresses, sa variabilité diminue donc, jusqu'au moment où une majorité des individus de la population B découvrent une stratégie gagnante. Dès lors quoi que fassent les individus de la population A ceux de la population B gagnent. Alors que la pression adaptative s'exerce constamment sur la population B, plus aucune force sélective n'agit sur la population A qui va donc à nouveau se diversifier au maximum.

En puisant au coeur de la génétique, nous voulions proposer un modèle mathématique qui puisse rendre compte de l'évolution des stratégies d'un groupe d'élèves, c'est chose faite ! A vous maintenant, cher lecteur, de juger à l'aune de votre expérience la pertinence d'une telle proposition !

Post-scriptum: S'il est facile de montrer qu'au jeu des triplets le premier joueur peut toujours gagner lorsque n est impair, cela n'est plus aussi simple lorsque n est pair. Sur la plupart des terrains pairs le joueur qui commence semble pouvoir gagner, mais il y a des exceptions et celles-ci ne suivent aucune loi connue !

Bibliographie

CHAPEVILLE, F. ET AL. (1979). Le darwinisme aujourd'hui. Paris : Seuil.

DE POSSEL, R. (1936). Sur la théorie mathématique des jeux de hasard et de réflexion. In H. MOULIN, (1979), Fondation de la théorie des jeux (pp. 83-120). Paris : Hermann.

GARDNER, M. (1986). Le monde mathématique de Martin Gardner. Paris : Pour la science.

GENOUD, A. (1999). Les jeux de Nim. Math-Ecole, n° 186, 17-25.

HOLLAND, J. H. (1975). Adaptation in natural and artificial systems: an introductory analysis with applications to biology, control, and artificial intelligence. Ann Arbor : The University of Michigan Press.

JAQUET, F. (1997). Jeux de NIM. Math-Ecole, n° 176, 25-34.

PIAGET, J. (1967). Intelligence et adaptation biologique. In Les processus d'adaptation: symposium de l'Association de psychologie scientifique de langue française, Marseille, 1965 (pp. 65-81). Paris : Presses Universitaires de France.

ZERMELO, E. (1913). Uber eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels. Proceedings, Fifth International Congress of Mathematicians, 2, 501-504.