Après Pythagore, Euclide et toute la clique, après Fermat et ses "resveries", après "Ce diable d'homme" d'EULER, après Lagrange et Legendre, Marc Guinot poursuit sa démarche à travers les siècles. Ce cinquième volume d'arithmétique pour amateurs s'intéresse à une partie de l'oeuvre arithmétique du "prince des mathématiques" que fut Carl Friedrich Gauss aux yeux de ses contemporains. En voici la présentation de l'éditeur :

"La majeure partie de cette oeuvre est constituée par des recherches arithmétiques effectuées dans les dernières années du XVIIIème siècle. C'est dans cet ouvrage qu'on trouve pour la première fois le langage des congruences (présenté dans notre livre II), la première démonstration complète de la loi de réciprocité quadratique (Livre IV) et la mise en évidence du fait, ignoré avant Gauss, que le polygone régulier à 17 côtés peut être construit à la règle et au compas. Mais l'essentiel du livre de Gauss est consacré à la théorie des formes quadratiques qui permit à Gauss de démontrer une affirmation célèbre de Fermat selon laquelle tout entier naturel est une somme de trois nombres triangulaires.

Outre ces questions passionnantes, nous étudierons dans ce livre V la théorie des entiers de Gauss (abordée par Gauss en 1831), ce qui nous permettra d'élargir notre propos à l'étude de la divisibilité dans les anneaux et d'appliquer les résultats obtenus aux anneaux d'entiers quadratiques, tout cela bien entendu ad majorem gloriam arithmeticae... "

Au sommaire :
A Des entiers de GAUSS aux anneaux...pseudo bezoutiens
1 - L'anneau des entiers de Gauss
2 - Divisibilité dans les anneaux intègres
3 - Anneaux factoriels
4 - Anneaux à PGCD
5 - La théorème de BEZOUT
6 - Anneaux d'entiers quadratiques

B Formes quadratiques à deux ou trois variables
1 - Formes et classes de formes
2 - Réduction des formes et détermination du nombre de classes
3 - Formes et classes ambiguës de discriminant donné
4 - Composition des classes de formes et groupes de classes
5 - Petite théorie des formes quadratiques ternaires
6 - Le théorème de l'existence des genres

C Des Formes quadratiques au problème de Waring
1 - EYPHKA ! num = + +
2 - Les sommes de trois carrés en général
3 - Le théorème des nombres polygonaux
4 - Le problème de Waring dans le cas des cubes

ALEAS EDITEUR, 1997, 15 Quai Lassagne - F - 69001 Lyon. 365 pages, 170 FF