La suite donnée par la relation u_n+1 = (10/3) u_n - u_n-1 et u₀ = 1 est relativement banale. Mais, comme le note R. Cuppens (Les moyens de calcul modernes vont-ils révolutionner l'enseignement des mathématiques. Bulletin de l'APMEP, 394, juin 1994), elle permet d'illustrer un problème important de math numérique, celui de l'étude des limites.

On notera tout d'abord qu'avec u₁ = 3 on a u_n = 3ⁿ ; avec u₁ = 1/3 on a u_n = 3^-n

Donc avec u₁ = a/3 + 3b on a u_n = a3^-n + b3ⁿ.

Cette suite converge vers 0 lorsque b = 0. Elle diverge sinon. L'intérêt du point de vue du calcul numérique est que, avec u₁ = 1/3, la suite converge de façon théorique mais diverge en pratique. Sur un ordinateur courant, u₁ = 0.3333.... Dans ce cas, a est proche de 1 et b bien que petit est différent de 0.

En voulant vérifier cette divergence sur un ordinateur, une bizarrerie est encore apparue. Selon la manière d'introduire la formule de récurrence, sous la forme u_n+1 = (10/3) u_n - u_n-1 ou u_n+1 = (10u_n )/3 - u_n-1 , dans le premier cas la suite diverge vers positivement, et dans l'autre cas négativement !

Pour étudier cette suite (de nombres rationnels) de façon numérique, il s'agit donc de la remplacer par deux suites, celle des numérateurs et celle des numérateurs:

u_n = p_n / q_n avec : p_n+1 = 10 p_n q_n-1 - 3 p_n-1 q_n et q_n+1 = 3 q_n q_n-1