Il y a tellement de modélisations...

Un article récent (Cortésy, 1993) a présenté les concepts de "modèle mathématique" et de "simulation", en les définissant dans le contexte d'une utilisation scolaire de l'informatique à l'aide de logiciels de modélisation-simulation (en particulier, STELLA). Je désire élargir ici cette présentation, en explorant plus en détail trois dimensions pertinentes:

• du côté des modèles (et non seulement des "modèles mathématiques"), en introduisant des nuances entre "modèles qualitatifs" et "modèles quantitatifs", "modèles descriptifs" et "modèles explicatifs";
• du côté de la psychopédagogie et de la pratique pédagogique, en situant l'activité de modélisation et de simulation dans le contexte de l'apprentissage de la mathématique et des sciences, au delà du stricte domaine de l'informatique;
• du côté des simulations, en plaidant la cause - peu populaire de nos jours, il est vrai! - de l'importance de la programmation directe, de la part des élèves, par rapport à l'utilisation de logiciels de modélisation-simulation.

Je prendrai comme exemple et je décrirai les premiers résultats d'une expérience de modélisation-simulation qui continue, depuis plusieurs années, dans des classes de 7e du Cycle d'orientation et dans le cadre assez large et transdisciplinaire des cours d'Observation scientifique, de Biologie et d'Informatique. Thème général: les processus de croissance et de changement. Cette expérience prépare les bases pour une possible extension de l'activité (en 8e et en 9e) vers l'exploration de l'"espace écologique": c'est-à-dire, vers le domaine de la modélisation relative à l'interaction entre deux ou plus grandeurs variables dans le temps. Dans ce qui suit, es modèles seront tous, formellement, des modèles continus paramétrisés par le temps (transformés en modèles discrets seulement pour en permettre l'intégration par l'ordinateur).

Language observationnel commun: la nouvelle approche vers l'activité d'observation scientifique dans les classes de 7e; language informatique commun: LOGOwriter.

Observation scientifique et modélisation

Le cours d'Observation scientifique en 7e est en train d'abandonner le cadre de référence assez limité dans lequel il s'était développé au début, celui de l'enseignement et de l'apprentissage de "la méthode scientifique" d'observation - générale et non contextuelle - des phénomènes naturels, une méthode qui n'était pas censé amener à l'établissement de règles, de régularités quantitatives, de modèles pour les phénomènes étudiés.

Au contraire, la nouvelle approche demande explicitement un élargissement de la pratique expérimentale dans des cadres interprétatifs (voir, par exemple, (2) ). En d'autres mots: on reconnait que l'action même d'observer et de créer des situations expérimentales qui se prêtent à l'observation, demande la présence - quelquefois implicite, et que les enseignants essaient de rendre explicite - de modèles informels ou qualitatifs. Ces modèles informels ou qualitatifs se retrouvent dans le choix des expériences, de la région de variation des paramètres définie pour chaque expérience, des variables considérées comme pertinentes et de celle dont on néglige la mesure dans le temps, etc.

La définition de "modèle" est ici évidemment différente de celle, plus stricte, de "modèle mathématique"; mais tous les modèles participent, d'un point de vue cognitif, d'une commune nature, et devraient être traités par une démarche compréhensive, capable de mettre en évidence leur essentielle homogénéité.

Parmi les phénomènes de croissance et de changement étudiés: la croissance du corps propre des élèves (dans ses aspects globaux - grandeur des élèves à partir de leur enfance - et différentiels - variations dans les rapports entre les différents parties du corps pendant le développement); la croissance d'une jeune tige florale d'amaryllis; le réchauffement et le refroidissement de différents liquides; l'évolution de l'épidémique du SIDA.

Parmi les phénomènes que nous voudrions être en mesure d'étudier: le développement d'une population isolée (bactéries? fourmis?); le développement de deux populations capables d'interagir entre elles.
Technique d'observation de cette pratique pédagogique: suivi de la part des enseignants; observations dans la classe et ensuite entretiens cliniques avec des couples d'élèves de la part des chercheurs.

L'intérêt de la modélisation qualitative: aspects gestuels, verbaux, graphiques

Les activités de "représentation" et de "modélisation qualitative" participent, ensemble, à l'apprentissage d'une certaine maîtrise des phénomènes observés et étudiés dans un laboratoire. On doit apprendre pour ça à observer comment les élèves parlent de leur expérience et réussissent à la décrire à l'expérimentateur; à la spatialiser par leurs gestes; à la représenter (par un tableau, un graphique, etc.).

Dès que la réflexion sur les données de l'expérience (ou des "séries historiques", comme dans le cas du SIDA) commence, la présence de certains modèles qualitatifs et globaux devient évidente: par une phrase rapide, par un geste de la main un phénomène est qualitativement et globalement décrit ("ça baisse tout le temps"; "ça fait des vagues").

Mais, à une analyse plus fine, la présence de plusieurs modèles qualitatifs et locaux (c'est-à-dire, qui impliquent l'observation d'un très petit intervalle temporel) peut être mise en évidence. Il s'agit ici, par exemple, de modèles locaux d'interpolation (comment faire une hypothèse sur la valeur d'une variable à un moment donné, si l'expérience a été faite seulement un peu plus tôt et un peu plus tard?; on retrouve un paradigme assez constant de régularité et de linéarité, avec un modèle local assez trouble de "moyenne"); ou de modèles moins locaux d'extrapolation (comment prévoir le comportement asymptotique d'une variable en évolution, si la mesure s'est arrêtée après un certain temps?).

Il faut donc apprendre à tenir compte d'une première relation dialectique entre les modèles qualitatifs globaux (qui semblent précéder tous les autres, à niveaux représentatif) et les modèles qualitatifs locaux.

L'importance des modèles quantitatifs locaux: règles, invariants et symétries

Tous ces modèles sont, au début, qualitatifs; même la "moyenne" cité ci-dessus est bien plus qualitative et symbolique et beaucoup moins computationnelle de ce que l'on pourrait s'attendre. Mais il faut tenir compte d'une autre relation dialectique, celle entre les modèles qualitatifs et les modèles quantitatifs; la réflexion et l'observation sur les données expérimentales donnent lieu rapidement à un glissement d'une appréciation purement qualitative ("la température change plus rapidement au début, et toujours plus lentement après, à parité d'intervalle temporel, quand un liquide se refroidi") vers une appréciation et une tentative d'évaluation quantitative ("plus le liquide est chaud, plus il perd de chaleur; peut-être le changement de température est proportionnel à la température du liquide"). C'est à partir de ces modèles quantitatifs locaux qu'une intégration du modèle (par itération manuelle ou par ordinateur) est possible.

Et encore une troisième relation dialectique, souvent ignorée: celle entre les modèles descriptifs et les modèles explicatifs (comment souvent les enseignants disent "maintenant, je vous explique", alors que, au plus, on pourrait dire "maintenant, je vous décris"). Les modèles qualitatifs locaux dont a été question jusqu'à présent sont purement descriptifs; on constate, par exemple, que la perte de chaleur est proportionnelle à la température du liquide; on peut pas l'expliquer (faute de connaissance en thermodynamique). On verra ci-dessous comment ce dernier modèle devient un modèle local explicatif lors de l'intégration vers un modèle quantitatif global. (La boucle semble se fermer: on est parti d'un modèle qualitatif global, et se retrouve avec un modèle quantitatif global; pendant cette trajectoire en spirale, on a appris par mal de choses...).
C'est dans la construction de ces modèles quantitatifs locaux que des concepts nouveaux deviennent essentiels: en particulier, ceux de régularité, linéarité = proportionnalité, symétrie (voir, par exemple, (3) à (6) ).

L'intégration de l'informatique à la pratique pédagogique: programmation et modèles quantitatifs globaux.

Le passage d'un modèle quantitatif local, décrit en général par un certain nombre de paramètres libres (à fixer par la confrontation des prévisions du modèle avec l'expérience), à un modèle quantitatif global peut être obtenu, souvent, par des moyens analytiques (solution d'une équation différentielle ou d'un système d'équations différentielles); mais ces moyens sont au delà des possibilités des élèves du Cycle et, dans certains cas, des enseignants eux-mêmes.

Reste la possibilité d'intégration manuelle par itération (presque jamais possible, ou au moins limitée à quelques itérations); celle d'intégration graphique (possible seulement dans des cas très simples de dépendance fonctionnelle du modèle local); et enfin celle de l'intégration par la programmation et par l'utilisation de l'ordinateur.

J'ai longtemps et très en détail présenté, dans la série de cahiers (7), les raisons pour lesquelles je considère fortement préférable, pour les premières classes de l'école secondaire, l'utilisation de la programmation (dans nos classes, en LOGOwriter, le dialecte LOGO enseigné maintenant à tous les élèves de 7e) à la place des logiciels de modélisation-simulation (type STELLA). J'y renvoie le lecteur. En quelques mots:

• l'ordinateur est, lui aussi, un objet de connaissance pour les élèves; laissons que le rapport des élèves avec l'ordinateur soit le plus transparent possible, et que le dialogue soit le plus possible proche du dialogue naturel;
• le language de programmation est, lui aussi, un objet de connaissance pour les élèves; laissons que les élèves maîtrisent les analogies et les différences entre un langage naturel et un langage formel;
• l'intégration pédagogique de l'ordinateur passe par sa présence continue dans la réflexion des élèves, des enseignants et de la classe entière; et non seulement dans les classes de 7e, mais dans tous les espaces transdisciplinaires que l'on pourra dénicher dans les classes de 8e et de 9e; pour que ce but soit réaliste, il faut que les élèves puissent autonomement programmer de manière flexible l'ordinateur pour réaliser leurs projets, sans être à tout moment dépendants (et esclaves) de la présence ou non d'une logiciel adéquat.
  

Et la pensée écologique?

Pour moi, la construction d'un espace cognitif et représentatif adéquat pour l'élaboration d'une pensée écologique en classe, dans l'école secondaire obligatoire, passe par tous les points qui précédent: expérimentation, observation, représentation, explicitation des modèles locaux, intégration vers un modèle global.

Dans le cas particulier de la pensée écologique (voir, pour plus de détail, le cahier 5 cité dans (7) ), l'intégration de très simples modèles de développement d'une population et la modélisation quantitative locale d'interaction entre deux populations permet de faire prendre conscience aux élèves du rôle joué par un certain nombre de concepts fondamentaux et tout à fait transdisciplinaires: l'importance des états d'équilibre statique; la présence d'une forme différente (et beaucoup plus fréquente en nature) d'équilibre, l'équilibre dynamique entre un certain nombre de variables; la présence, pour plusieurs systèmes, d'un certains nombre d'états d'équilibre doués d'une nouvelle caractéristique: celle d'être attracteurs ou répulseurs. C'est la description même du monde, des phénomènes de croissance et de changement, qui de cette manière s'enrichi.

Un tel début de réflexion écologique peut aussi permettre de discuter les effets différents que peut avoir sur un système le fait d'être soumis à un régime de compétition, ou au contraire de symbiose et/ou de collaboration (Figs.1 à 3). Dans un monde tellement compétitif, peut-être les avantages de la coopération serons ressentis positivement par les élèves...

Références:

(1) J.-C.Cortésy: Modèles mathématiques et simulation. Informatique-Information, octobre 1993.
(2) B.Vitale: Pratiques et perspectives nouvelles de la stratégie expérimentale; Elargissement de la pratique expérimentale dans des cadres interprétatifs (Séminaire de formation pour l'enseignement d'Observation scientifique, Genève, 1991). Cahiers d'OS, no.5, septembre 1991, pp.50-60.
(3) J.-L.Gurtner and B.Vitale: Why modeling? Pupils interpretation of the activity of modeling in mathematical education (Proceedings of the 15th International conference on Psychology in Mathematical Education, PME-15). Assisi, 1991, vol.II, pp.101-108.
(4) J.-L.Gurtner, C.León, R.Nuñez Errazuriz et B.Vitale: Representation and modelisation of change over time by 12-13 year old children in a school context. Cahiers des Archives J.Piaget, 1994.
(5) J.-L.Gurtner, C.León, R.Nuñez Errazuriz and B.Vitale: The representation, understanding and mastering of experience; Modelling and programming in a school context, dans J.de Lange, Ch.Keitel, J.Huntley and M.Niss: Innovation in maths education by modelling and applications. New York: Horwood, 1993, pp.63-68.
(6) B.Vitale: Processes; A dynamical integration of informatics into mathematical education, in C.Hoyles and R.Noss (eds.): Learning mathematics and LOGO. Cambridge (USA): MIT University Press, 1992, pp.279-318.
(7) B.Vitale: L'intégration de l'informatique à la pratique pédagogique. Genève: CRPP-DIP, 1990-1993: volume 1: Considérations générales pour une approche transdisciplinaire. volume 2: Les projets: cahier 1: Le laboratoire "jeux"; cahier 2: Le laboratoire "arbres et arborescences"; cahier 3: Le laboratoire "croissance et changement"; cahier 4: Le laboratoire "la construction de l'espace musical"; cahier 5: Le laboratoire "les bases de la pensée écologique".