Voici un ouvrage attendu qui fait le point sur l'impact de l'informatique sur l'enseignement des mathématiques. Un première hypothèse, assez naturelle, est de supposer que l'évolution des mathématiques ont une influence sur leur enseignement et un certain nombre de contributions préalables montrent comment l'ordinateur influe sur la science mathématique, que ce soit par l'aspect calcul, visualisation, expérimentation, simulation ou même démonstration. L'informatique semble teinter plusieurs concepts mathématiques classiques: nombre, variable, fonction, par exemple. Par ailleurs, l'informatique a aussi des conséquences sur le choix des sujets (renouveau de l'algorithmique) ou sur un aspect plus social qu'est la communication à travers le média informatique (facilité à réaliser des textes de qualité).

Calculer

C'est une des premières application de l'ordinateur. On en connaît assez bien les retombées au niveau des conjectures que ces calculs permettent de faire: calcul des décimales des nombres transcendants, recherche de la répartition des nombres premiers. De plus, l'utilisation de systèmes symboliques a impulsé le recherche d'algorithme pour effectuer du calcul "littéral", par exemple le problème de la factorisation de polynômes développés.

Visualiser

La visualisation de phénomènes permet de trouver des résultats nouveaux. Un exemple simple concerne l'approximation des fonctions par leur série de Taylor. Par exemple, les approximations successives de la fonction sinus sont:

P₁(x) = x ; P₃(x) = x - x³/6 ; P₅(x) = x - x³/6 + x⁵/120 ; etc.

Si l'on dessine les fonctions d_n(x) = | P_n(x) - sin(x) | on observe deux phénomènes, "l'équidistance" et "le parallélisme". C'est l'ordinateur qui a permis de s'intéresser à ces phénomènes.

Un autre exemple, plus connu dans ce domaine, est la visualisation des fractales.

Expérimenter, simuler

L'ordinateur permet de véritables expérimentations et l'activité mathématique devient plus facilement expérimentale dans le sens où des hypothèses préalables peuvent être testées sur ordinateur. La valeur de vérité attribuée à ces expérimentations acquièrent une statut intermédiaire entre la démonstration et la conjecture.

Démontrer

Deux aspects sont abordés: celui de la démonstration automatique qui n'en est qu'à ces balbutiements et celui de l'aide à la démonstration où l'ordinateur effectue des vérifications trop longues et complexes pour être réalisées à la main. L'exemple le plus connu est naturellement celui de la démonstration du théorème des 4 couleurs. K. Appel et W. Haken ont montré en reprenant des travaux antérieurs (qui avaient par trop simplifié le problème) que l'ensemble des cartes critiques se ramenaient à 1482 cas qu'il suffisait de traiter un par un, travail qui a été réalisé par ordinateur. Cette démonstration a donné lieu à un long débat dans la communauté des mathématiciens. Comment vérifier ce que fait l'ordinateur ? Les techniques de "preuve par programme" se développent et ont fait évoluer ce qui est accepté comme preuve. Une exigence est par exemple que le résultat ait été obtenu indépendamment au moins deux fois.

Algorithmes

La mise au point et l'utilisation d'algorithmes font partie des premières activités mathématiques connues, que l'on songe à l'algorithme d'Euclide. Mais leur rôle dans les mathématiques évolue, ils deviennent objets d'étude pour eux-mêmes: possibilité de les mettre en oeuvre, évaluation de leur complexité, classement des algorithmes en fonction de certaines propriétés, etc.

L'algorithme de Strassen

Il s'agit de faire le produit de deux matrices carrées nxn. En 1968, Strassen a montré que l'on peut faire le produit de deux matrices carrées 2x2 avec sept multiplications, au lieu de huit. Ce résultat a été généralisé. Rice a pu montrer en 1983 que le produit de deux matrices nxn peut se faire avec environ n^2,49 multiplications au lieu de n³. Si n = 1000, n^2,49 (= 2,95 * 10⁷) représente moins de 3% de n³ (= 10⁹).

Par ailleurs une approche algorithmique des mathématiques se développe qui rejoint les préoccupations des constructivistes. De plus en plus d'objets mathématiques sont définis comme des résultats d'algorithmes; la preuve d'existence des objets revient à la preuve de l'effectivité de l'algorithme (prouver qu'il aboutit et prouver qu'il fournit le résultat escompté).

Ces différents aspects de même que leurs implications pédagogiques sont détaillées dans diverses contributions.

Mathématique et informatique (J.-P. Bertrandias): L'importance est mise ici sur sur le langage et la question qui se pose constamment sur la signification exacte de ce langage et de sa relation avec la réalité qu'il doit commander ou décrire. Cela doit inciter le mathématicien à une réflexion sur le langage qu'il utilise.

L'informatique conduit-elle a des mathématiques nouvelles? (G. Rauzy): L'auteur fournit des exemples simples qui permettent d'amorcer une introduction de l'informatique dans l'enseignement mathématique.

Le rôle de l'informatique dans un cours de mathématique (K.D. Graf): Ce sont des exemples et de véritables filières à travers la scolarité qui sont étudiées. Par exemple, la filière algorithmique va de la 5e primaire à la fin du lycée.

Dans sa conclusion, l'auteur est prudent sur les véritables retombées pédagogiques de l'ordinateur en classe de mathématique. La possibilité offerte par l'ordinateur de travailler plus expérimentalement va-t-elle se répercuter sur l'imagination des élèves, les erreurs commises, sur le processus de compréhension ? Comment la dynamique de la classe va-t-elle évoluer ? L'ordinateur va-t-il privilégier certains types d'élèves ? Ce sont de nombreuses questions dont la recherche en pédagogie devra s'occuper ces prochaines années.

L'enseignement de l'analyse à l'âge informatique (D. Tall): L'utilisation de l'ordinateur (algorithmes numériques et programmation) est présentée comme un moyen pour alléger certains problèmes rencontrés par les étudiants en analyse et de donner un sens à des concepts.

Intégration et viabilité des objets informatiques dans l'enseignement des mathématiques (Y. Chevallard): Le point de vue adopté par Y. Chevallard est celui de l'ingénierie didactique, c'est-à-dire l'ensemble des méthodes pour enseigner, évaluer la progression des élèves dans un domaine donné. Il note à ce propos que les bonnes séquences d'enseignement usant de l'ordinateur font encore défaut. Le problème n'est pas tellement d'intégrer l'ordinateur à des contenus traditionnels, mais bien plutôt de réfléchir à la pertinence des contenus et des modes d'apprentissages.

Gestion informatisée des problèmes et de démarches liées à leur résolution (R.Gras et collègues): Deux types de travaux sont présentés. Le premier a trait aux logiciels d'aide à la résolution de problèmes (en géométrie élémentaire). L'autre concerne les banques de données dont la structure permet des recherches multi-critères et une certaine automatisation de l'évaluation.

Utilisation de l'ordinateur à partir d'une théorie de Piaget sur l'apprentissage de concepts mathématiques (E. Dubinsky): La théorie présentée est proche de celle de Logo, c'est-à-dire qu'elle se fonde sur l'idée de la "construction" de savoir à travers des activités de programmation, reflet qui devrait favorise l'"abstraction réfléchissante". Le langage de programmation utilisé (SETL) est très proche du langage mathématique.

Des logiciels pour l'enseignement (F. Tréhard): L'auteure s'attaque ici à la nomenclature des systèmes d'enseignement et à leur classification. Ces systèmes peuvent être utilisé pour l'évaluation, l'élaboration de séquences d'enseignement ou de l'élaboration de didacticiels.

LOGO: exemple générique ou cas particulier (A. Rouchier): LOGO offre de nombreuses exemples de travaux qui se situent dans cette frange de l'informatique qui incorpore ou met en oeuvre des concepts mathématiques.

Un ouvrage de référence dont nous recommandons vivement la lecture.

Cornu, B. (sous la direction de ) L'ordinateur pour enseigner les mathématiques. Paris: 1992, PUF, Nouvelle encyclopédie Diderot.